蓝桥杯 历届真题 高僧斗法(博弈-Nim博弈)

问题 1459: [蓝桥杯][2013年第四届真题]高僧斗法

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题目描述

古时丧葬活动中经常请高僧做法事。仪式结束后,有时会有“高僧斗法”的趣味节目,以舒缓压抑的气氛。
节目大略步骤为:先用粮食(一般是稻米)在地上“画”出若干级台阶(表示N级浮屠)。又有若干小和尚随机地“站”在某个台阶上。最高一级台阶必须站人,其它任意。(如图1所示)
两位参加游戏的法师分别指挥某个小和尚向上走任意多级的台阶,但会被站在高级台阶上的小和尚阻挡,不能越过。两个小和尚也不能站在同一台阶,也不能向低级台阶移动。
两法师轮流发出指令,最后所有小和尚必然会都挤在高段台阶,再也不能向上移动。轮到哪个法师指挥时无法继续移动,则游戏结束,该法师认输。
对于已知的台阶数和小和尚的分布位置,请你计算先发指令的法师该如何决策才能保证胜出。

输入

输入数据为一行用空格分开的N个整数,表示小和尚的位置。台阶序号从1算起,所以最后一个小和尚的位置即是台阶的总数。(N< 100, 台阶总数< 1000)

输出

输出为一行用空格分开的两个整数: A B, 表示把A位置的小和尚移动到B位置。若有多个解,输出A值较小的解,若无解则输出-1。

样例输入

1  5  9 

样例输出

1 4

这是一道经典的阶梯Nim博弈问题,想解决这道题 首先要知道Nim博弈(如果知道就直接看代码吧), Nim博弈就是说,给你几堆小石子 ,让两个玩家分别在这几堆小石子中取出石子(可以将某堆石子全部取出 也可以在某堆中只取一个小石子,当然是不可能不取的,不然还玩撒)。谁取到最后 ,没有石子取就输了。

比如 有 3 堆石子 ,每堆分别为 2 3 4个小石子,如下图所示

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玩游戏都想赢 ,所以 如何取尤为重要,方案有很多,想快速知道如果我方先手 是赢 还是输,直接就用Nim 研究过的成果。

Nim 的做法 就是 将 2 3 4 都转化为2进制再 异或 得出结果,如果结果是非0 那么先手必定赢 如果结果为0 那么先手必输(前提,玩游戏的都想赢 且都很聪明)

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可以看到异或后得到的结果是非0 则先手必胜, 先手遇到如此局面肯定会想办法 将它 变成0 这里先手在个数为4的一堆中取出3个。这堆就变成1个 整个局面的结果 就变成0,那么后手进行操作的话,无论操作 哪一堆,在哪堆中拿多少个石子,看看下图对不对。 肯定会破坏这种局面,让结果变为非0,比如后手在为3堆一堆取走3,

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比如后手在为3堆一堆取走3,如下图

img

现在又到该先手取石子了,这个时候先手肯定要把 2个石子的一堆取出1个来,还剩1个,如图所示

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现在又轮到 后手去取石子,现在一眼就可以看出 先手必赢了吧, 后手根据规则 只能拿走一个,然后轮到先手 拿了最后一个,后手就没得办法取 ,游戏就结束了。

现在回过头来 看阶梯Nim博弈问题。 只需要将 阶梯Nim博弈问题转换为Nim博弈问题即可,做如下转换,每两个和尚之间看做一堆,比如 和尚分别站 1 3 5 8 那么可以转换为3堆,分别为 1 1 2,再取异或 就可以知道 先手是否必赢,具体实现可以看代码。(注意; 如果移动了一个小和尚 除了边界 ,会影响相邻两堆的情况,看代码注释)

img

##AC代码

#include<iostream>
#define N 102
using namespace std; 
int main(){
  int a[N],b[N];
    int n = 0,i,j,k,sum = 0;
      while(cin>>a[n])n++;//存储又有多少个小和尚 
     for(i=1; i<n; i++)b[i-1] = a[i] - a[i-1] - 1;// 进行Nim博弈的转换 
       for(i=0; i<n-1; i+=2) sum ^= b[i];//进行异或 
    if(sum==0)cout<<-1<<endl;//若开始局面为0 则必输 
    else//若非0 则必赢,因此 需要找到第一步 将局面变为0 的步骤 
    {
        for(i=0; i<n-1; ++i)//枚举移动第i堆  使得剩下的局面异或等于0,
            for(j=1; a[i]+j<a[i+1]; ++j) {//枚举可以移动的步数  保证 前项移动j 步后 不会超过后项 
                b[i] -= j;//拿走 j个 ,这里代表 前一个向上移动j步 
                if(i!=0)b[i-1] += j;//它的后一堆b[i]向取走了j个,那莫前一堆 b[i-1] 则要增加j个 第一堆除外 
            sum = 0;
            for(k=0; k<n-1; k+=2) sum ^= b[k];//重新计算局面, 
           if(sum==0) {cout<<a[i]<<" "<<a[i]+j<<endl; break;}//若变成0  则后手必败,先手必赢。跳出即可; 
            b[i] += j;//回溯 这不是必赢的操作 
            if(i!=0) b[i-1] -= j; 
          }
    }
    return 0;   
}

题目链接:http://www.dotcpp.com/oj/problem1459.html


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